Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点P，坐标为（2，-3）；（3）

【解析】

（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；

（2）首先假设存在点P，然后根据面积相等构建等式，看是否有解，即可得解；

（3）首先设点M坐标，根据面积最大构建二次函数求最大值得出点M坐标，然后设点N坐标，再次构建二次函数求最小值，即可得解．

（1）由题意，令，即

∴A的坐标为（4,0）

令，即

∴B的坐标为（0，-2）

将A、B、C三点坐标代入抛物线，得

解得

∴抛物线解析式为：；

（2）假设存在该点P，设其坐标为（a，）

∵A的坐标为（4,0），B的坐标为（0，-2）

∴OA=4，OB=2，，

∴点P到直线的距离为

∵

∴

∴

∴存在这样的点P，点P的坐标为（2，-3）

（3）设M坐标为

当的面积最大时，即

的面积最大为4，

∴M坐标为

设N的坐标为

当时，有最小值，

其值为.