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【题目】已知抛物线y=ax2﹣4a(a>0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上一点,且PB=AB,∠PBA=120°,如图所示.

(1)求抛物线的解析式.
(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,且在曲线PA上移动.
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,是否存在点M使△APM的面积为 ?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标.

【答案】
(1)

解:如图1

令y=0代入y=ax2﹣4a,

∴0=ax2﹣4a,

∵a>0,

∴x2﹣4=0,

∴x=±2,

∴A(﹣2,0),B(2,0),

∴AB=4,

过点P作PC⊥x轴于点C,

∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,

∵PB=AB=4,

∴cos∠PBC=

∴BC=2,

由勾股定理可求得:PC=2

∵OC=OC+BC=4,

∴P(4,2 ),

把P(4,2 )代入y=ax2﹣4a,

∴2 =16a﹣4a,

∴a=

∴抛物线解析式为;y= x2


(2)

解:∵点M在抛物线上,

∴n= m2

∴M的坐标为(m, m2 ),

①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,

∴2≤m≤4,

如图2,

过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,

设直线AP的解析式为y=kx+b,

把A(﹣2,0)与P(4,2 )代入y=kx+b,

得:

解得

∴直线AP的解析式为:y= x+

令x=m代入y= x+

∴y= m+

∴D的坐标为(m, m+ ),

∴DM=( m+ )﹣( m2 )=﹣ m2+ m+

∴SAPM= DMAE+ DMCE

= DM(AE+CE)

= DMAC

=﹣ m2+ m+4

当SAPM= 时,

=﹣ m2+ m+4

∴解得m=3或m=﹣1,

∵2≤m≤4,

∴m=3,

此时,M的坐标为(3, );

②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,

∴﹣2≤m≤2,n<0,

当﹣2≤m≤0时,

∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ (m+ 2+

当m=﹣ 时,

∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为

此时,M的坐标为(﹣ ,﹣ ),

当0<m≤2时,

∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ (m﹣ 2+

当m= 时,

∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为

此时,M的坐标为( ,﹣ ),

综上所述,当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,M的坐标为( ,﹣ )或(﹣ ,﹣ )时,|m|+|n|的最大值为


【解析】(1)先求出A、B两点坐标,然后过点P作PC⊥x轴于点C,根据∠PBA=120°,PB=AB,分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标,最后将点P的坐标代入二次函数解析式即;(2)①过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,分别用含m的式子表示点D、M的坐标,然后代入△APM的面积公式 DMAC,根据题意列出方程求出m的值;
②根据题意可知:n<0,然后对m的值进行分类讨论,当﹣2≤m≤0时,|m|=﹣m;当0<m≤2时,|m|=m,列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值.本题考查二次函数的综合问题,涉及待定系数法求二次函数解析式,三角形面积公式,二次函最值等知识,要注意将三角形分解成两个三角形求解;还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质.

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