【题目】已知抛物线y=ax2﹣4a(a>0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上一点,且PB=AB,∠PBA=120°,如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,且在曲线PA上移动.
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,是否存在点M使△APM的面积为 ?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标.
【答案】
(1)
解:如图1
,
令y=0代入y=ax2﹣4a,
∴0=ax2﹣4a,
∵a>0,
∴x2﹣4=0,
∴x=±2,
∴A(﹣2,0),B(2,0),
∴AB=4,
过点P作PC⊥x轴于点C,
∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,
∵PB=AB=4,
∴cos∠PBC= ,
∴BC=2,
由勾股定理可求得:PC=2 ,
∵OC=OC+BC=4,
∴P(4,2 ),
把P(4,2 )代入y=ax2﹣4a,
∴2 =16a﹣4a,
∴a= ,
∴抛物线解析式为;y= x2﹣
(2)
解:∵点M在抛物线上,
∴n= m2﹣ ,
∴M的坐标为(m, m2﹣ ),
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,
∴2≤m≤4,
如图2,
过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,
设直线AP的解析式为y=kx+b,
把A(﹣2,0)与P(4,2 )代入y=kx+b,
得: ,
解得
∴直线AP的解析式为:y= x+ ,
令x=m代入y= x+ ,
∴y= m+ ,
∴D的坐标为(m, m+ ),
∴DM=( m+ )﹣( m2﹣ )=﹣ m2+ m+ ,
∴S△APM= DMAE+ DMCE
= DM(AE+CE)
= DMAC
=﹣ m2+ m+4
当S△APM= 时,
∴ =﹣ m2+ m+4 ,
∴解得m=3或m=﹣1,
∵2≤m≤4,
∴m=3,
此时,M的坐标为(3, );
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,
∴﹣2≤m≤2,n<0,
当﹣2≤m≤0时,
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ (m+ )2+ ,
当m=﹣ 时,
∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为 ,
此时,M的坐标为(﹣ ,﹣ ),
当0<m≤2时,
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ (m﹣ )2+ ,
当m= 时,
∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为 ,
此时,M的坐标为( ,﹣ ),
综上所述,当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,M的坐标为( ,﹣ )或(﹣ ,﹣ )时,|m|+|n|的最大值为 .
【解析】(1)先求出A、B两点坐标,然后过点P作PC⊥x轴于点C,根据∠PBA=120°,PB=AB,分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标,最后将点P的坐标代入二次函数解析式即;(2)①过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,分别用含m的式子表示点D、M的坐标,然后代入△APM的面积公式 DMAC,根据题意列出方程求出m的值;
②根据题意可知:n<0,然后对m的值进行分类讨论,当﹣2≤m≤0时,|m|=﹣m;当0<m≤2时,|m|=m,列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值.本题考查二次函数的综合问题,涉及待定系数法求二次函数解析式,三角形面积公式,二次函最值等知识,要注意将三角形分解成两个三角形求解;还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质.
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【题目】如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,连接AD,BD.则下列结论:
①AC=AD;②BD⊥AC;③四边形ACED是菱形.
其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】王师傅检修一条长600米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修管道长度是原计划的1.2倍,结果提前2小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米?
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【题目】在某次海上军事学习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)
(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?
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【题目】如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AD=4cm,AB=dcm.动点E、F分别从点D、B出发,点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动,点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动,点F移动到点C时,两点同时停止移动.以EF为边作正方形EFGH,点F出发xs时,正方形EFGH的面积为ycm2 . 已知y与x的函数图象是抛物线的一部分,如图2所示.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)自变量x的取值范围是;
(2)d= , m= , n=;
(3)F出发多少秒时,正方形EFGH的面积为16cm2?
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【题目】如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,动点P从A点出发,以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位:cm2)与点P移动的时间(单位:s)的函数如图②所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了秒(结果保留根号).
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