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【题目】如图,在RtABC中,∠C=90°BD平分∠ABC,与AC交于点D,点OAB上一点,⊙OBD两点,且分别交ABBC于点EF

1)求证:AC是⊙O的切线;

2)已知AB=10BC=6,求⊙O的半径r

【答案】(1)证明见解析;(2.

【解析】试题分析:(1)连接OD.欲证AC⊙O的切线,只需证明AC⊥OD即可;

2)利用平行线截线段成比例推知;然后将图中线段间的和差关系代入该比例式,通过解方程即可求得r的值,即O的半径r的值.

试题解析:(1)证明:连接OD

∵OB=OD

∴∠OBD=∠ODB(等角对等边);

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ODB=∠DBC(等量代换),

∴OD∥BC(内错角相等,两直线平行);

∵∠C=90°(已知),

∴∠ADO=90°(两直线平行,同位角相等),

∴AC⊥OD,即AC⊙O的切线;

2)解:由(1)知,OD∥BC

(平行线截线段成比例),

解得r=,即O的半径r

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