Question

6．设a、b、c均为实数，且满足a²+b²+c²=6a+10b+26c-203，化简2$\sqrt{a+\sqrt{b-\sqrt{c+4\sqrt{a}}}}$．

Answer 1

分析 根据已知条件写成三个完全平方式的和，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再进一步代入化简求值即可．

解答 解：∵a²+b²+c²=6a+10b+26c-203，
∴a²+b²+c²-6a-10b-26c+203=0，
∴（a-3）²+（b-5）²+（c-13）²=0，
∴a-3=0，b-5=0，c-13=0，
∴a=3，b=5，c=13，
∴2$\sqrt{a+\sqrt{b-\sqrt{c+4\sqrt{a}}}}$
=2$\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{（\sqrt{12}+1）^{2}}}}$
=2$\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$
=2$\sqrt{3+\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}}}$
=2$\sqrt{2+\sqrt{3}}$
=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$
=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}}$
=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

点评 此题考查配方法的运用，非负数的性质，二次根式的化简，掌握完全平方公式是解决问题的关键．