Question

已知如图a：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于点E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？

图a

（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图b，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

图b

（3）若△ABC中，∠B的平分线BO与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．如图c，这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？

图c

Answer 1

解：（1）5个：△ABC，△AEF，△BEO，△OFC，△BOC；
EF=2BE= 2CF（或EF=BE+CF）．理由如下：
∵BO平分∠EBC，
∴∠EBO=∠CBO．
又∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBC=∠BOB，即BE=OE．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠EBO=∠OBC=∠EOB=∠FCO=∠OCB=∠FOC，
∴EF=2BE=2CF（或EF=BE+CF）；
（2）有，△BOE，△OCF；
EF与BE，CF间的关系是：BF=BE+CF；
（3）有，△BOE，△FCO；
BE=EF+CF．理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC．
∵BO平分∠EBC，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB．
∴BE=OE，
∴△BEO是等腰三角形，
又∵EO∥BC，
∴∠EOC=∠OCD．
∴CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠OCD，
∴∠FCO=∠FOC，
∴FC=OF，
故△CFO是等腰三角形．
而EO=BE，且EF+FO=EO，
∴BE=EF+CF．