Question

如图（1），直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连结PE，PF．
（1）∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是

 

，并说明理由．
（2）如图（2），若点P在直线AB上时，∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是

 

（不需说明理由）
（3）如图（3），在图（1）基础上，P₁E平分∠PEB，P₁F平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°．则∠P₁=

 

（用x，y的代数式表示），若P₂E平分∠P₁EB，P₂F平分∠P₁FD，可得∠P₂，P₃E平分∠P₂EB，P₃F平分∠P₂FD，可得∠P₃…，依次平分下去，则∠P_n=

 

．
（4）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（5）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=28°，∠PBC=30°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：规律型,探究型

分析：（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）若点P在直线AB上时，过P作AB的平行线，同理依据两直线平行，内错角相等即可证得；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论；
（4）过A、B分别作直线AE、BF，使AE∥BF，利用（1）的结论即可求解．

解答：解：（1）∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠P=∠PEB+∠PFD
理由如下：过点P作PH∥AB∥CD
∴∠PEB=∠EPH，∠PFD=∠FPH
而∠EPF=∠EPH+∠FPH
∴∠EPF=∠PEB+∠PFD
（2）如图（2），若点P在直线AB上时，
∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠PFD=∠PEB+∠P
（不需说明理由）
（3）∠P₁=

1

2

（x+y）°（用x，y的代数式表示）
∠P_n=（

1

2

）ⁿ（x+y）°．
（4）解：∠APB=∠C+58°．理由如下：
过A、B分别作直线AE、BF，使AE∥BF．
如图，由（1）规律可知∠C=∠1+∠2．
∠APB=∠PAE+∠PBF
=（∠PAC+∠1）+（∠PBC+∠2）
=∠PAC+∠PBC+（∠1+∠2）
=∠C+58°

点评：本题考查了平行线的性质，正确理解题目之间的联系是关键．