Question

如图所示，以RtΔABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值。

Answer 1

（1）连接OD、BD

∵ΔBDC是RtΔ, 且E为BC中点。

∴∠EDB=∠EBD.　　　　

又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°　　　

∴∠EDB+∠ODB=90°

∴DE是⊙O的切线；　　　

（2）∵∠EDO=∠B=90°,

若要AOED是平行四边形，则DE∥AB,D为AC中点。

又∵BD⊥AC,

∴ΔABC为等腰直角三角形。

∴∠CAB=45°.　　　　　　

过E作EH⊥AC于H.

设BC=2k，

则EH=

∴sin∠CAE=