Question

4．如图①是一张可折叠的海绵床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况．如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A、B、C、D各点都是活动的，BC段和EF段都视为床头部分），其折叠过程可由图②的变化过程反映出来．经测量四边形ABCD中，AB=6cm，CD=15cm．
（1）活动床头的固定与折叠的设计依据是三角形具有稳定性（请填写相应的数学原理）
（2）BC、AD各取多长时，才能实现上述的折叠变化？
（3）折叠床长2m，宽80cm，两段床头都有一段半径为50cm的圆弧，当两端的床头都折叠到床面之下以后，沿直线PN可以将床再次向下折叠成为完全相等的两部分．为增加床的承载量，需要在直线PN与床边的交界处各增加一根床腿（如图③）．折叠床的包装盒为长方体，为使包装盒的长度和高度都最小，床腿PQ以及床头EF的高度最大为多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形的稳定性得出答案；
（2）根据已知图形得出AC²+CD²=AD²，以及AB+AD=CD+BC，进而组成方程组求出即可；
（3）先画出床头的示意图，求出BC，OB，再由床腿PQ最大时，床的上方只有圆弧，EF的高度最大时床腿为15cm求解即可．

解答 解：（1）小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）由图2的第一个图形得：AC²+CD²=AD²，
即（6+BC）²+15²=AD²①，
又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC，
即6+AD=15+BC②，
联立①②组成方程组得：
$\left\{\begin{array}{l}{（6+BC）^{2}+1{5}^{2}=A{D}^{2}}\\{6+AD=15+BC}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{BC=30}\\{AD=39}\end{array}\right.$．
故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化；
（3）∵如图为床头的示意图，点O为圆心，作OB⊥AD交AD于点B，

∵AD=80cm，
∴AB=40cm，
∵AO=50cm，
∴BO=$\sqrt{A{O}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}-4{0}^{2}}$=30cm，
∴BC=50-30=20cm，
∵床长2m，即200cm，
∴对折后，即床的一半为100cm，
∵床腿PQ最大时，床的上方只有圆弧，
∴2PQ=100-20，解得PQ=40cm，
∵CD=15cm．
∴床头EF的高度最大值为100-2×15-20=50cm．

点评 此题主要考查了几何变换，涉及折叠问题，勾股定理及方程组等知识，解题的关键是能理解折叠图，正确的找出床腿PQ以及床头EF的高度最大时的条件．