Question

在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，联结BE，且∠ABE=30°，BE=DE，联结BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于Q．
（1）当点P在线段ED上时（如图1），且AE=1，

EP

ED

=

2

3

，求PQ的长；
（2）当点P在线段ED上时（如图1），求证：△ABE∽△CBD．
（3）若BE=DE=4，设PQ长x，以D、P、Q为顶点的三角形的面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）在RT_^△ABE中，先求出AB、∠BEA，再求出∠EBD=∠EDB=30°，得出BD，再根据PQ∥BD，得出

PQ

BD

=

EP

ED

，再代入计算即可求出PQ；
（2）求出∠BDC=60°，得出∠BDC=∠BEA，再根据∠A=∠C，即可得出△ABE∽△CBD；
（3）分两种情况讨论：当点P在线段ED上时，过点Q作QF⊥AD于点F，根据∠FPQ=∠ADB=30°，得出FQ=

1

2

x，FP=

3

2

x，再根据∠QEF=60°，得出EF=

3

6

x，最后根据y=S_△DPQ=S_△DFQ-S_△PFQ=

1

2

DF•QF-

1

2

PF•QF代入计算，当点P在线段ED的延长线上时，过点Q作QF⊥AD于点F，则AB∥FQ，先求出∠FQE=30°，根据BD∥PQ，得出∠DPQ=∠ADB=30°，QF=

1

2

x，FP=

3

2

x，EF=

3

6

x，最后根据y=S_△DPQ=S_△PFQ-S_△DFQ=

1

2

PF•QF-

1

2

DF•QF代入计算即可．

解答：解：（1）在RT△ABE中，
∵∠ABE=30°，AE=1，
∴AB=

3

，∠BEA=60°，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴BD=2AB=2

3

，
∵PQ∥BD，
∴

PQ

BD

=

EP

ED

，
∴

PQ

2 3

=

2

3

，
∴PQ=

4 3

3

；
（2）∵∠EDB=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDC=∠BEA，
∵∠A=∠C，
∴△ABE∽△CBD．
（3）

如图1；当点P在线段ED上时，过点Q作QF⊥AD于点F，
∵PQ∥BD，
∴∠FPQ=∠ADB=30°，
∴FQ=

1

2

QP=

1

2

x，FP=

3

2

x，
∵∠QEF=60°，
∴EF=

3

6

x，
∴y=S_△DPQ=S_△DFQ-S_△PFQ=

1

2

DF•QF-

1

2

PF•QF=

1

2

（4+

3

6

x）•

1

2

x-

1

2

×

3

2

x•

1

2

x=-

3

12

x²+x，
如图2；当点P在线段ED的延长线上时，过点Q作QF⊥AD于点F，则AB∥FQ，

∵∠ABE=30°，
∴∠FQE=30°，
∵BD∥PQ，
∴∠DPQ=∠ADB=30°，
∴QF=

1

2

QP=

1

2

x，
∴FP=

3

2

x，EF=

3

6

x，
∴y=S_△DPQ=S_△PFQ-S_△DFQ=

1

2

PF•QF-

1

2

DF•QF=

1

2

×

3

2

x•

1

2

x-

1

2

（4+

3

6

x）•

1

2

x=

3

12

x²-x．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、三角形的面积，关键是根据已知条件画出图形，注意分两种情况讨论．