Question

【题目】(2016广东省梅州市第23题)（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】(1)、10-15；(2)、t=或t=；(3)、t=2.5；最小值为

【解析】

试题分析：(1)、根据Rt△ABC的性质得出AB和BC的长度，然后根据BM=BN得出t的值；(2)、分△MBN∽△ABC和△NBM∽△ABC两种情况分别求出t的值；(3)、根据四边形的面积等于△ABC的面积减去△BMN的面积得出函数解析式，从而求出最值.

试题解析：(1)、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴，

由题意知，，， 由BM=BN得

解得：

(2)、①当△MBN∽△ABC时， ∴，即，解得：

②当△NBM∽△ABC时， ∴， 即，解得：．

∴当或时，△MBN与△ABC相似．

(3)、过M作MD⊥BC于点D，可得： 设四边形ACNM的面积为，

∴

．

∴根据二次函数的性质可知，当时，的值最小． 此时，