Question

13．如图，抛物线y=$\frac{1}{18}{x^2}-\frac{4}{9}$x-10与轴的一个交点为A，与y轴的交点为B．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，连接AC．动点P、Q分别从0、C两点同时出发，动点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，动点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ与OC的交点为D，过点D作DE∥x轴，交AC于点E，射线QE交X轴于点F．设点P、Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）在点P、Q移动的过程中，
①当四边形CEDQ为平行四边形时，求出t的值；
②△PQF为等腰三角形时，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）将y=0代入y=$\frac{1}{18}{x^2}-\frac{4}{9}$x-10，求出x的值，得到点A点的坐标；将x=0代入y=$\frac{1}{18}{x^2}-\frac{4}{9}$x-10，求出y的值，得到B点的坐标；
（2）①先由BC∥x轴，DE∥x轴，得出QC∥DE∥PA，根据平行四边形定义可知当PQ∥AC时，四边形CAPQ和四边形CEDQ都是平行四边形，再由平行四边形对边相等得出PA=QC=DE，根据PA=QC列出方程18-4t=t，解方程即可；
②先由QC∥DE∥PA，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{QD}{PD}$=$\frac{CE}{AE}$．由△QDC∽△PDO，△QEC∽△FEA，根据相似三角形对应边成比例得到$\frac{QC}{PO}$=$\frac{QD}{PD}$，$\frac{QC}{FA}$=$\frac{CE}{AE}$，等量代换得出$\frac{QC}{PO}$=$\frac{QC}{FA}$，那么PO=FA，PF=PA+AF=PA+OP=OA=18．再求出C（8，-10），于是BC=8．过Q作QG⊥x轴于点G．在Rt△PQG和Rt△FQG中，利用勾股定理求出PQ²=PG²+GQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+10²，FQ²=FG²+GQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+10²．根据题意求出0＜t＜$\frac{9}{2}$．然后分三种情况进行讨论：①PQ=PF；②FQ=PF；③PQ=FQ．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{18}{x^2}-\frac{4}{9}$x-10，
∴当y=0时，$\frac{1}{18}{x^2}-\frac{4}{9}$x-10=0，解得x=18或-10，
当x=0时，y=-10，
∴A（18，0），B（0，-10）；

（2）①∵BC∥x轴，DE∥x轴，
∴QC∥DE∥PA，
∴当PQ∥AC时，四边形CAPQ和四边形CEDQ都是平行四边形，此时有PA=QC=DE，
∴当PA=QC时，四边形CEDQ是平行四边形．
∵PA=18-4t，QC=t，
∴18-4t=t，解得t=$\frac{18}{5}$，
∴当四边形CEDQ为平行四边形时，t的值为$\frac{18}{5}$秒；
②∵QC∥DE∥PA，
∴$\frac{QD}{PD}$=$\frac{CE}{AE}$．
∵△QDC∽△PDO，△QEC∽△FEA，
∴$\frac{QC}{PO}$=$\frac{QD}{PD}$，$\frac{QC}{FA}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴$\frac{QC}{PO}$=$\frac{QC}{FA}$，
∴PO=FA，
∴PF=PA+AF=PA+OP=OA=18．
令y=-10，得$\frac{1}{18}{x^2}-\frac{4}{9}$x-10=-10，
解得x=8或0，
∴C（8，-10），
∴BC=8．
过Q作QG⊥x轴于点G．
∵QC=t，PO=4t，PF=18，QG=10，
∴在Rt△PQG和Rt△FQG中，
有PQ²=PG²+GQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+10²，
FQ²=FG²+GQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+10²．
∵动点P、Q分别从0、C两点同时出发，动点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，动点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动，
∴4t＜18，
解得t＜$\frac{9}{2}$，
∴0＜t＜$\frac{9}{2}$．
①若PQ=PF，则（5t-8）²+10²=18²，
解得t=$\frac{8+4\sqrt{14}}{5}$＞$\frac{9}{2}$，或t=$\frac{8-4\sqrt{14}}{5}$＜0，都不符合题意，舍去；
②若FQ=PF，则（5t+10）²+10²=18²，
解得t=$\frac{-10+4\sqrt{14}}{5}$，符合题意；或t=$\frac{-10-4\sqrt{14}}{5}$＜0，不符合题意，舍去；
③若PQ=FQ，则（5t-8）²+10²=（5t+10）²+10²，
解得t=-$\frac{1}{5}$＜0，不符合题意，舍去；
综上所述，当△PQF为等腰三角形时，t的值为$\frac{-10+4\sqrt{14}}{5}$秒．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．