Question

5．函数y=2$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由二次根式的性质可得1≤x≤2，然后由柯西不等式求得y=2$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$≤$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$•$\sqrt{（\sqrt{x-1}）^{2}+（\sqrt{2-x}）^{2}}$=$\sqrt{5}$×$\sqrt{x-1+2-x}$=$\sqrt{5}$．

解答 解：根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：1≤x≤2，
由柯西不等式得：y=2$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$
≤$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$•$\sqrt{（\sqrt{x-1}）^{2}+（\sqrt{2-x}）^{2}}$
=$\sqrt{5}$×$\sqrt{x-1+2-x}$
=$\sqrt{5}$（当且仅当2$\sqrt{2-x}$=$\sqrt{x-1}$，即x=$\frac{9}{5}$时，取等号），
故函数y=2$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$的最大值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了无理函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握柯西不等式的应用是解此题的关键，注意柯西不等式：ax+by≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$（当且仅当ay=bx时取“=”）．