Question

15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）判断点P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）若S_△ABO=12，求k的值；
（3）Q是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO为半径画圆，⊙Q与x轴、y轴分别交于点M、N，连接AN、BM，求证：AN∥BM．

Answer 1

分析 （1）判断出AB是⊙O直径，即可得到点P在线段AB上；
（2）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由题意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位线，判断出S_△BP2P：S_△BOA=1：4，求出S_{四边形OP1PP2}=6，即可求出k的值；
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，连接AN，EM，且S_△MON=S_△AOB=12，故OA•OB=OM•ON，即$\frac{OA}{OM}$=$\frac{ON}{OB}$，得到△AON∽△MOB．

解答 解：（1）点P在线段AB上，理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径，
∴点P在线段AB上；
（2）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由题意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位线，
∵S_△BP2P：S_△BOA=1：4，
∴S_△BP2P=$\frac{1}{4}$S_△AOB=$\frac{1}{4}$×12=3，
同理，S_△AP1P=3，
∴S_{四边形OP1PP2}=12-6=6，
∴k=6；
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，连接AN，EM，且S_△MON=S_△AOB=12，
∴OA•OB=OM•ON，
∴$\frac{OA}{OM}$=$\frac{ON}{OB}$，
∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB，
∴AN∥MB．

点评 本题考查了反比例函数综合题，熟悉反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质是解题的关键．