Question

5．在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，沿直线AD将△ADB折叠得到△ADE，AE交BC于点F．
（1）如图1，若∠ADB=116°，求∠EDC的度数；
（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EDC=∠DAB，连接BE，判断△ABE的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，若BC=2$\sqrt{6}$，求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得到∠ADB=∠ADE，根据邻补角的概念计算即可；
（2）设∠EDC=∠DAB=x，用x表示出∠ADB和∠ADE，根据翻折变换的性质列出方程，解方程得到答案；
（3）作CH⊥AE于H，根据等腰直角三角形的性质求出AB、AC的长，根据直角三角形的性质求出CH的长，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵沿直线AD将△ADB折叠得到△ADE，∠ADB=116°，
∴∠ADE=116°，∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠EDC=∠ADE-∠ADC=52°，

（2）设∠EDC=∠DAB=x，
则∠ADB=180°-45°-x，
∠ADE=45°+x+x，
∴180°-45°-x=45°+x+x，
解得，x=30°，
∵∠EDC=30°，DB=DE，
∴∠DBE=15°，
∴∠ABE=60°，又AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；

（3）如图3，作CH⊥AE于H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=2$\sqrt{6}$，
∴AB=AC=2$\sqrt{3}$，
∵∠EAC=90°-60°=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴△ACE的面积=$\frac{1}{2}$×AE×CH=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，找准翻折变换中对应边、对应角是解题的关键，注意相关定理、性质的灵活运用．