Question

10．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，BD=BC，点E、F分别是边BD、CD的中点，∠ABD=34°，∠DBC=40°，求∠EAF的度数．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE=$\frac{1}{2}$BD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AED，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠DEF=∠DBC，从而求出∠AEF，最后根据等腰三角形两底角相等求解即可．

解答 解：∵AD⊥AB，点E是BD的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠BAE=∠ABD=34°，
∴∠AED=∠BAE+∠ABD=34°+34°=68°，
∵点E、F分别是边BD、CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DEF=∠DBC=40°，
∴∠AEF=∠AED+∠DEF=68°+40°=108°，
又∵BD=BC，
∴AE=EF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$（180°-∠AEF）=$\frac{1}{2}$（180°-108°）=36°．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质与定理并准确识图是解题的关键．