Question

某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，第一年生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入P（单位：万元）近似地满足P=5000m-500m²（0≤m≤5，m为整数）．
（1）试写出第一年的销售利润y（单位：万元）关于年生产量x（单位：百台，x≤5，x为正整数）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收入-成本）
（2）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用Q（单位：万元）与年生产量x（单位：百台）的关系满足Q=500x+500（x≤3，x为正整数），求第一年年生产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？（说明：纯利润=销售利润-人员支出费用）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）利用销售利润=实际销售收人一成本，成本=固定成本+增加成本，即可得出；
（2）利用工厂所得纯利润=工厂销售利润-人员的年支出费用，及二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）由题意可得，y=5000x-500x²-500-1000x，
即y=-500x²+4000x-500，（x≤5，x为正整数）；

（2）设工厂所得纯利润为h（x），则
h（x）=-500x²+4000x-500-Q
=-500x²+3500x-1000
=-500（x-

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）²+5125（x≤3，x为正整数）．
故当x=3时，函数h（x）取得最大值h（3）=5000．
当年产量为3百台时，工厂所得纯利润最大，最大利润为5000万元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确理解销售利润=实际销售收人一成本、成本=固定成本+增加成本、工厂所得纯利润=工厂销售利润-人员的年支出费用、二次函数的单调性是解题的关键．