Question

12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S_△AOE：S_△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）

Answer 1

分析 ①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；
②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；
③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．
④正确．只要证明S_△BCM=$\frac{1}{4}$S_△ACB，S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{6}$S_△ABC即可；

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，
∴OB=OA=OB，
∵∠COB=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠DCA=30°，
∵FO=FC，BO=BC，
∴BF垂直平分OC，故①正确，
∴∠FBC=∠OBE=30°，
∴∠FOC=∠FCO=30°，
∴∠FOB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠FCO=∠EAO，
∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，
∴△FOC≌△EOA，
∴OE=OF，
∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，
∴△EBO≌△FBC，故②错误，
∵DF∥EB，DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°-∠CFO=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴DE=EF，故③正确，
易知CM=$\frac{1}{4}$AC，AE=CF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴S_△BCM=$\frac{1}{4}$S_△ACB，S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{6}$S_△ABC，
∴S_△AOE：S_△BCM=2：3．故④正确，
故答案为①③④

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．