Question

20．如图：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B与∠D互补．求证：AE=AD+BE（提示：在AE上取F，使EF=EB，连接CF．）

Answer 1

分析 在AE上取F，使EF=EB，连接CF，证得△CEF≌△CEB和△ADC≌△AFC，得出相应的角和线段相等，证得结论成立即可．

解答 证明：如图，

在AE上取F，使EF=EB，连接CF．
∵CE⊥AB，
∴∠CEF=∠CEB=90°，
在△CEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{∠CEF=∠CEB}\\{EF=EB}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CEB，
∴∠CFE=∠B，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠CFA=180°-∠CFE=∠D
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠FAC，
在△ADC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CAF}\\{∠CDA=∠CFA}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AFC，
∴AD=AF，
∴AE=AF+FE=AD+BE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．