Question

某同学用两个完全相同的直角三角尺重叠在一起（如图①）固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移．
（1）若∠A=60°，斜边AB=4，设AD=x，两个直角三角尺重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当D移至到什么位置时．四边形CDBF是菱形，并加以证明；
（3）当D移至AB中点时（如图②），四边形CDBF能否为正方形？若能，请你说明理由；若不能，请你添加一个条件说明四边形CDBF为正方形？

Answer 1

分析：（1）根据平移的性质得到DF∥AC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD=

4-x

2

，BG=

BD2-DG2

=

3 (4-x)

2

，所以由三角形的面积公式列出函数关系式；
（2）当D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知
CD=

1

2

AB，BF=

1

2

DE．所以AD=CD=BD=CF，又由BE=AD，则CD=BD=BF=CF，故四边形CDBF是菱形；
（3）不能为正方形，添加条件：AC=BC时，四边形CDBF为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件．

解答：解（1）如图①∵DF∥AC，
∴∠DGB=∠C=90°，∠GDB=∠A=60°，∠GBD=30°
∵BC=4-x，
∴GD=

4-x

2

，BG=

BD2-DG2

=

3 (4-x)

2

y=S_△BDG=

1

2

×

4-x

2

×

3 (4-x)

2

=

3 (4-x)2

8

（O≤x≤4）；

（2）当D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形．
证明：∵∠ACB=∠DFE=90°，D是AB的中点
∴CD=

1

2

AB，EF=

1

2

DE
∴CD=BD=BF=BE
∵CF=BD
∴CD=BD=BF=CF
∴四边形CDBF是菱形；

（3）不能为正方形，添加条件：AC=BC时，四边形CDBF为正方形．
证明：∵AC=BC，D是AB的中点．
∴CD⊥AB即∠CDB=90°
∵四边形CDBF为菱形，
∴四边形CDBF是正方形．

点评：本题是几何变换综合题型，主要考查了平移变换的性质，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线．（2）难度稍大，根据三角形斜边上的中线推知CD=BD=BF=BE是解题的关键．