Question

如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，点P坐标为（-，），S△BPC最大=；

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△QAC的周长最小，首先求出直线BC的解析式，进而得出Q点坐标即可．

（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标；

试题解析：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得

，

∴解得：，

∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）存在，

由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，

∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

∵y=-x2-2x+3，

∵C的坐标为：（0，3），B（-3，0），设直线BC解析式为：y=kx+d，

∴，

解得：，

∴直线BC解析式为：y=x+3；

Q点坐标即为的解，

∴，

∴Q（-1，2）；

存在，如下图：

设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）

∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-，

若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，

∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）

=（x+）2+，

当x=-时，S四边形BPCO最大值=，

∴S△BPC最大=-＝，

当x=-时，-x2-2x+3=，

∴点P坐标为（-，）

考点：1、待定系数法；2、线段的性质；3、二次函数的性质

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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