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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,过点C作CF⊥l于F.

(1)求抛物线解析式;

(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时,求线段OD的长;

(3)在(2)的条件下:

①连接DF,求tan∠FDE的值;

②试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)1;(3)G(4,)或(4,6).

【解析】

试题分析:(1)把A、B的坐标代入抛物线的解析式,解方程组即可;

(2)C的纵坐标求得F的坐标,OCD≌△HDE,得出DH=OC=3,即可求得OD的长;

(3)先确定C、D、E、F四点共圆,圆周角定理求得ECF=EDF,由tanECF==得到tanFDE=

连接CE,得出CDE是等腰直角三角形,CED=45°,过D点作DG1CE,交直线l于G1,过D点作DG2CE,交直线l于G2,则EDG1=45°,EDG2=45°,求得直线CE的解析式为,设直线DG1的解析式为直线DG2的解析式为,把D的坐标代入即可求得m、n,从而求得解析式,进而求得G的坐标.

试题解析:(1)如图1,抛物线交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,,解得抛物线解析式为

(2)如图2,点F恰好在抛物线上,C(0,3),F的纵坐标为3,把y=3代入得,解得x=0或x=4,F(4,3),OH=4,∵∠CDE=90°,∴∠ODC+EDH=90°,∴∠OCD=EDH,在OCD和HDE中,∵∠OCD=EDH,COD=DHE=90°,CD=DE∴△OCD≌△HDE(AAS),DH=OC=3,OD=4﹣3=1;

(3)如图3,连接CE,∵△OCD≌△HDE,HE=OD=1,BF=OC=3,EF=3﹣1=2,∵∠CDE=CFE=90°,C、D、E、F四点共圆,∴∠ECF=EDF,在RTCEF中,CF=OH=4,tanECF==tanFDE=

如图4,连接CE,CD=DE,CDE=90°,∴∠CED=45°,过D点作DG1CE,交直线l于G1,过D点作DG2CE,交直线l于G2,则EDG1=45°,EDG2=45°EH=1,OH=4,E(4,1),C(0,3),直线CE的解析式为,设直线DG1的解析式为D(1,0),,解得m=直线DG1的解析式为,当x=4时,=G1(4,);

设直线DG2的解析式为D(1,0),0=2×1+n,解得n=﹣2,直线DG2的解析式为,当x=4时,y=2×4﹣2=6,G2(4,6);

综上,在直线l上,是否存在点G,使EDG=45°,点G的坐标为(4,)或(4,6).

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