Question

【题目】△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．
（1）如图1，求证：BD=CE；
（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；
（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，

∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠CAE，

在△ABE和△BCD中，

∴△ABE≌△BCD（ASA），

∴BD=CE；

（2）解：如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，

∵∠EFC=∠AFD=60°

∴∠AFC=120°，

∵FG为△AFC的角平分线，

∴∠CFH=∠AFH=60°，

∴∠CFH=∠CFE=60°，

∵CM⊥AE，CN⊥HF，

∴CM=CN，

∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，

∴∠CEM=∠CGN，

在△ECM和△GCN中

∴△ECM≌△GCN（AAS），

∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，

∴∠MCN=∠ECG=60°，

∵△ABE≌△BCD，

∵AE=CD，

∵HG=CD，

∴AE=HG，

∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，

在△AMC和△HNC中

∴△AMC≌△HNC（SAS），

∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，

∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，

∴△ACH是等边三角形，

∴∠AHC=60°；

（3）解：如图3，在FH上截取FK=FC，

∵∠HFC=60°，

∴△FCK是等边三角形，

∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，

∵∠ACH=60°，

∴∠ACF=∠HCK，

在△AFC和△HKC中

∴△AFC≌△HKC（SAS），

∴AF=HK，

∴HF=AF+FC=9，

∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，

∴AG=2CG，

∴ = = ，

作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，

∵FG为△AFC的角平分线，

∴GW=GQ，

∵ = = = ，

∴AF=2CF，

∴AF=6．

【解析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD可知AG=2CG，再由 = ，根据等高三角形面积比等于底的比得出 = = =2，再由AF+FC=9求得．
【考点精析】关于本题考查的等边三角形的性质，需要了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．