【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出|QA﹣QO|的取值范围 .
【答案】(1)C的坐标为(3,0),;(2)不存在;(3)0≤|QA﹣QO|≤4.
【解析】
试题分析:(1)点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为(8,0);
点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为(0,6);
由题意得:BC是∠ABO的角平分线,所以OC=CH,BH=OB=6.
∵AB=10,∴AH=4,设OC=x,则AC=8﹣x,由勾股定理得:x=3,∴点C的坐标为(3,0)
将此三点代入二次函数一般式,列的方程组即可求得;
(2)求得直线BC的解析式,根据平行四边形的性质,对角相等,对边平行且相等,借助于三角函数即可求得;
(3)如图,由对称性可知QO=QH,|QA﹣QO|=|QA﹣QH|.当点Q与点B重合时,Q、H、A三点共线,|QA﹣QO|取得最大值4(即为AH的长);设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时,|QA﹣QO|取得最小值0.
试题解析:(1)点C的坐标为(3,0).∵点A、B的坐标分别为A(8,0),B(0,6),∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x﹣3)(x﹣8).将x=0,y=6代入抛物线的解析式,得,∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为;
(2)可得抛物线的对称轴为直线,顶点D的坐标为(,),设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y=﹣2x+6.
设点P的坐标为(x,﹣2x+6).
解法一:如图,作OP∥AD交直线BC于点P,连接AP,作PM⊥x轴于点M.
∵OP∥AD,∴∠POM=∠GAD,tan∠POM=tan∠GAD.∴,即.
解得x=.经检验x=是原方程的解.此时点P的坐标为(,).
但此时OM=,GA=,OM<GA.∵OP=,AD=,∠POM=∠GAD,∴OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,∴直线BC上不存在符合条件的点P.
解法二:如图,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN⊥x轴于点N.则∠PEO=∠DEA,PE=DE.可得△PEN≌△DEG.由OE==4,可得E点的坐标为(4,0).
NE=EG=,ON=OE﹣NE=,NP=DG.∴点P的坐标为(,).
∵x=时,-2x+6=1≠,∴点P不在直线BC上.∴直线BC上不存在符合条件的点P.
(3)|QA﹣QO|的取值范围是0≤|QA﹣QO|≤4.
当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时,(如点K处),此时OK=AK,则|QA﹣QO|=0,当Q在AH的延长线与直线BC交点时,此时|QA﹣QO|最大,直线AH的解析式为:,直线BC的解析式为:y=﹣2x+6,联立可得:交点为(0,6),∴OQ=6,AQ=10,∴|QA﹣QO|=4,∴|QA﹣QO|的取值范围是:0≤|QA﹣QO|≤4.
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【题目】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同.
(1)原计划平均每天生产多少台机器?
(2)若该工厂要在不超过5天的时间,生产1100台机器,则平均每天至少还要再多生产多少台机器?
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【题目】△ABC是等边三角形,点D、E分别在边AB、BC上,CD、AE交于点F,∠AFD=60°.
(1)如图1,求证:BD=CE;
(2)如图2,FG为△AFC的角平分线,点H在FG的延长线上,HG=CD,连接HA、HC,求证:∠AHC=60°;
(3)在(2)的条件下,若AD=2BD,FH=9,求AF长.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出|QA﹣QO|的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.
(1)若∠A=40°,求∠DCB的度数.
(2)若AE=4,△DCB的周长为13,求△ABC的周长.
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