Question

4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．
（1）如图1所示，AC=BC，求证：AB=2CD；
（2）若AC≠BC（如图2所示）．（1）中结论是否仍然成立？若成立．请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，于是得到∠DCB=45°，求得CD=BD，于是得到结论；
（2）如图1，取AC中点E，连接DE，根据三角形的中位线的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠DCB=45°，
∴∠B=∠DCB，
∴CD=BD，
∵AB=2BD，
∴AB=2CD；


（2）如图1，取AC中点E，连接DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴DE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∠AED=∠ACB=90°，
DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴AB=AD+BD=2AD=2CD．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练三角形的中位线的性质是解题的关键．