Question

设关于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）是否存在k值使x₁•x₂＞x₁+x₂？若存在求出k值；若不存在，请说明理由．
（2）若方程两根均为正整数，且x₁≠x₂，试求k的值．

Answer 1

解：∵关于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有两个实数根x₁，x₂．
∴△=16-4×[-2（k-1）]≥0，
解得，k≥-1；
（1）∵x₁•x₂=2（k-1），x₁+x₂=4，
∴2（k-1）＞4，
解得，k＞3．即存在这样的k的值，k的取值范围为k＞3；

（2）∵方程两根均为正整数，且x₁≠x₂，x₁+x₂=4，
∴当x₁=1时，x₂=3，则2（k-1）=3，解得k=；
当x₁=3时，x₂=1，则2（k-1）=3，解得k=；
综上所述，k=．
分析：（1）利用根与系数的关系列出关于k的不等式2（k-1）＞4，通过解不等式即可求得相应的k的值；
（2）根据两根之和为4，即x₁+x₂=4，和已知条件“x₁≠x₂”分别求得x₁、x₂，然后将其代入x₁•x₂=2（k-1），即可求得k的值．
点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：解答（1）题时，要根据关于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0的根的判别式来确定k的取值范围．