Question

15．已知a、b为直角三角形两直角边，且a、b为一元二次方程：x²-（2k+1）x+k²+k+$\frac{1}{4}$=0的两根．
（1）求证：△ABC为等腰直角三角形；
（2）P为AB上一动点，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，当k=$\frac{7}{2}$时，P运动到何处，矩形PECF面积最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）由于a、b为一元二次方程：x²-（2k+1）x+k²+k+$\frac{1}{4}$=0的两根．根据△=[-（2k+1）]²-4（k²+k+$\frac{1}{4}$）=4k²+4k+1-4k²-4k-1=0，判断此方程有两个相等的实数根，于是得到a=b，即可得到结论；
（2）将k=$\frac{7}{2}$代入方程得x²-8x+16=0，求得a=b=4，根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得到AE=PE=CF，BF=CE=PF，设AE=m，则EP=m，CE=4-m，PF=BF=4-m，然后根据面积的和差即可得到结论．

解答 解：（1）∵a、b为一元二次方程：x²-（2k+1）x+k²+k+$\frac{1}{4}$=0的两根．
∴△=[-（2k+1）]²-4（k²+k+$\frac{1}{4}$）=4k²+4k+1-4k²-4k-1=0，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴a=b，
∵a、b为直角三角形两直角边，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（2）将k=$\frac{7}{2}$代入方程得x²-8x+16=0，
解得x₁=x₂=4，
∴a=b=4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴△AEP与△BPF是等腰直角三角形，
∵四边形PECF是矩形，
∴PE=CF，CE=PF，
设AE=m，则EP=m，CE=4-m，PF=BF=4-m，
矩形ECFP的面积=4×4÷2-m•m÷2-﹙4-m﹚×﹙4-m﹚÷2=8-$\frac{1}{2}$m²-8-$\frac{1}{2}$m²+4m=-m²+4m=-﹙m-2﹚²+4，
当m=2时矩形面积最大，
即AE=2，也就是E为中点，P为中点时最大，
∴最大值为：4．

点评 本题考查了矩形的性质，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的面积，求最大值问题，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程无实数根．