Question

（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF=120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是______；BE+BF与的BC数量关系是______；（写出结论即可，不必证明）

（2）将（1）中的∠EDF绕D点顺时针旋转一定的角度（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF=120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；

（3）将（1）中的∠BDE绕D点逆时针旋转一定的角度，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF=120°”这一条件仍然不变，则DE与DF的数量关系是______；BE、BF、BC这三者之间的数量关系是______．（写出结论即可，不必证明）

Answer 1

解：（1）等边△ABC中，点D为AC的中点，∠EDF=120°，
∴∠DEC=∠F，
∴DE=DF，
∴BE+BF=BC；

（2）DE=DF；BE+BF=BC．
过D作DM∥BC交AB于M点，
则∠AMD=∠ABC=60°，
∠ADM=∠ACB=60°，
∴△AMD是等边三角形，
则MD=DC=AD=BC，
∠MDC=∠EDF=120°，
则∠MDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即：∠MDE=∠CDF，
在△MED和△CDF中，
∴△MED≌△CDF（ASA），
∴DE=DF，ME=CF，
BE+BF=BM-ME+BC+CF=BC+BC=；

（3）取AB中点N，连接DN，如图所示
∵ND=CD，∠END=∠DCF=120°，NE=CF，
∴△END≌△FCD，
∴DE=DF，
∵BE+AB=CF，
∴BF=BC+CF=BC+BE，
∴BF-BE=BC．
分析：（1）点E与点B重合，即BE=0，因为CF=CD=BC，所以可得出三者之间的关系．
（2）旋转问题，三角形旋转之后，得到的新三角形与原三角形全等，所以线段的关系与（1）中关系相同．
（3）逆时针旋转，DE与DF关系不变，但后者的关系发生变化．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．