Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：若，则称点为点的绝对点．例如：点的绝对点坐标是，点的绝对点坐标是．

（1）点的绝对点坐标是_______．

（2）若点在函数的图像上，其绝对点的纵坐标的取值范围为，求的取值范围；

（3）若点在关于的二次函数图像上，其绝对点的纵坐标的取值范围是或，其中，令，是否存在使得有最大值，若有请求出的最大值及此时的值；若无，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3≤k≤5；（3）存在，当t=-时，S取得最大值．

【解析】

（1）根据给出的定义可直接得出结果；

（2）根据题意可知y=x-1（-3≤x≤k，k＞-3）的图象上的点P的绝对点Q必在函数的图象上，结合图象即可得到答案；
（3）首先求出的顶点坐标，根据题意图象上的点P的绝对点Q必在函数n′＝的图象上，结合-2t与-1的关系确定y的最值，进而用a和b表示出s，根据t的取值范围求出s的取值范围．

解：（1）根据新定义，

∵＜-1，∴点的绝对点坐标是，

故答案为：；

（2）依题意，y=x-1（-3≤x≤k，k＞-3）图象上的点P的绝对点Q必在函数n′=的图象上（如图1）．

当x=-1时，n′取最小值，n′=-1-1=-2，
当n′=4时，x-1=4或1-x=4，∴x=5或x=-3，
当n′=2时，x-1=2，∴x=3．
∵-2≤n′≤4，
∴由图象可知，k的取值范围是：3≤k≤5；
（3）存在．理由如下：

∵y=-x2-4tx+4t2+3t=-（x+2t）2+8t2+3t，∴顶点坐标为（-2t，8t2+3t）．

图象上的点P的绝对点Q必在函数n′＝的图象上．

Ⅰ．若-2t≥-1，如图2，

当x＜-1时，n′＞|-（-1+2t）2+8t2+3t|=|4t2+7t-1|，即a=-4t2-7t+1；
当x≥-1时，n′≤8t2+3t，即b=8t2+3t．

则s=a-b=-12t2-10t+1=-12(t+)2+，

∴当t=-时，s取得最大值；

Ⅱ．若-2t＜-1，如图3，

当x＜-1时，n′≥0，当x≥-1时，n′≤4t2+7t-1，

与的取值范围是或不符，舍去．

综上所述，当t=-时，s取得最大值．