Question

11．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：PM=PN；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接MN，证明四边形AMNB是矩形，得出∠MNB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由（1）即可得出结论．

解答 （1）证明：连接MN，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC，AD=BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=BN，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∴平行四边形AMNB是矩形，
∴∠MNB=90°，
∵P是BM的中点，
∴PN=$\frac{1}{2}$BM=PM；
（2）四边形MPNQ是菱形；理由如下：
解：∵DM∥BN，DM=BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴BM∥ND，BM=ND，
又∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
由（1）得PM=PN，
∴四边形MPNQ时菱形．

点评 本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及直角三角形斜边上的中线性质；证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．