Question

15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：
①EC=2DG；           ②∠GDH=∠GHD；
③S_△CDG=S_{四边形DHGE}；  ④图中只有8个等腰三角形．
其中正确的有②③（填番号）．

Answer 1

分析 根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；得到BD∥CE，推出∠DCG=∠BDC=45°，求出∠BGC=∠GBC，得到BC=CG=CD，求出∠CDG=∠DHG即可；根据三角形的面积公式推出△CDG和四边形DHGE的面积相等；可得有9个等腰三角形．

解答 解：∵正方形ABCD，DE=AD，
∴AD∥BC，DE=BC，∠EDC=90°，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴BD=CE，BD∥CE，
∵DE=BC=AD，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
要使CE=2DG，只要G为CE的中点即可，
但DE=DC，DF=BD，
∴EF≠BC，
即△EFG和△BCG不全等，
∴G不是CE中点，∴①错误；
∵∠ADB=45°，DF=BD，
∴∠F=∠DBH=$\frac{1}{2}$∠ADB=22.5°，
∴∠DHG=180°-90°-22.5°=67.5°，
∵BD∥CE，
∴∠DCG=∠BDC=45°，
∵∠DHG=67.5°，
∴∠HGC=22.5°，∠DEC=45°，
∵∠BGC=180°-22.5°-135°=22.5°=∠GBC，
∴BC=CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°=∠DHG，∴②正确；
∵CG=DE=CD，∠DCE=∠DEC=45，∠HGC=22.5°，∠GDE=90-∠CDG=90-67.5=22.5°，
∴△DEG≌△CHG，
要使△CDG和四边形DHGE的面积相等，只要△DEG和△CHG的面积相等即可，根据已知条件△DEG≌△CHG，
∴③S_△CDG=S_{四边形DHGE}；正确，
等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF；∴④错误；
故答案为：②③．

点评 本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．