Question

6．记2016²的所有正约数为d₁，d₂，…，d_m，则$\frac{1}{{d}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{d}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{d}_{m}+2016}$=$\frac{165}{4032}$．

Answer 1

分析 先针对于2²的3个正约数，对于3²的3个正约数，对于4²的5个正约数，对于5²的3个正约数，对于6²的9个正约数分别计算，找出n²的正约数的个数的规律（如果n²分解质因数为a^e×b^f×c^h，那么正约数的个数为（e+1）（f+1）（h+1），和所求结论的规律则$\frac{1}{{d}_{1}+n}$+$\frac{1}{{d}_{2}+n}$+$\frac{1}{{d}_{3}+n}$+…+$\frac{1}{{d}_{m}+n}$=$\frac{m}{2n}$，规律，即可得出结论．

解答 解：对于2²的（2+1）=3个正约数1，2，2²，有$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{2+2}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2}$=$\frac{3}{4}$；
对于3²的（2+1）=3个正约数1，3，3²，有$\frac{1}{1+3}$+$\frac{1}{3+3}$+$\frac{1}{{3}^{2}+3}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{6}$；
对于4²=2⁴的（4+1）-5个正约数1，2，2²，2³，2⁴，有$\frac{1}{1+4}$+$\frac{1}{2+4}$+$\frac{1}{{2}^{2}+4}$+$\frac{1}{{2}^{3}+4}$+$\frac{1}{{2}^{4}+4}$=$\frac{5}{8}$．
对于5²的（2+1）=3个正约数1，5，5²，有$\frac{1}{1+5}$+$\frac{1}{5+5}$+$\frac{1}{{5}^{2}+5}$=$\frac{3}{10}$，
对于6²=2²×3²的（2+1）（2+1）=9个正约数1，2，2²，3，3²，2×3，2²×3，2×3²，2²×3²，
有$\frac{1}{1+6}$+$\frac{1}{2+6}$+$\frac{1}{{2}^{2}+6}$+$\frac{1}{3+6}$+$\frac{1}{{3}^{2}+6}$+$\frac{1}{2×3+6}$+$\frac{1}{{2}^{2}×3+6}$+$\frac{1}{2×{3}^{2}+6}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{3}^{2}+6}$=$\frac{9}{12}$，
…
…
即：若n²的所有正约数为d₁，d₂，d₃，d₄，…，d_m，则$\frac{1}{{d}_{1}+n}$+$\frac{1}{{d}_{2}+n}$+$\frac{1}{{d}_{3}+n}$+…+$\frac{1}{{d}_{m}+n}$=$\frac{m}{2n}$
∵2016²=2¹⁰×3⁴×7²
∴m=（10+1）（4+1）（2+1）=m=165，
∴当n=2016时，$\frac{1}{{d}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{d}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{d}_{m}+2016}$=$\frac{165}{2×2016}$=$\frac{165}{4032}$，
故答案为$\frac{165}{4032}$．

点评 此题是约数与倍数，主要考查了一个正整数的平方的正约数的确定，以及正约数的个数的确定，找出规律是解本题的关键，也是难点．是一道比较难度比较大的规律题．