Question

4．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线．
（2）当OA=3，OE=6时，求线段AE、线段DE和弧AD围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；
（2）在Rt△OAE中，由OA=3，OE=6，得出cos∠AOE=$\frac{1}{2}$，得出∠AOE=60°，进而求得AE的长和∠AOD=120°，然后根据S_{四边形OAED}-S_扇形OAD即可求得线段AE、线段DE和弧AD围成的图形的面积．

解答 （1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE与△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{OE=OE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线； 
（2）解：如图，在Rt△OAE中，OA=3，OE=6，
∴$cos∠AOE=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOD=120°，AE=OE•sin∠AOE=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$AE•OA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形OAED}=2S_△AOE=9$\sqrt{3}$，
∴线段AE、线段DE和弧AD围成的图形的面积=S_{四边形OAED}-S_扇形OAD
=9$\sqrt{3}$-$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$
=9$\sqrt{3}$-3π．

点评 本题考查了切线的判定以及扇形的面积，求得△AOE≌△DOE和∠AOE=60°是解题的关键．