Question

13．已知抛物线y=（a+c）x²+bx+$\frac{1}{4}$（a-c）与x轴有唯一的公共点，则以实数a，b，c为三边的三角形的形状为直角三角形．

Answer 1

分析 根据题意得出方程有两个相等的实数根，得出△=0，即可得出a²=b²+c²，根据勾股定理的逆定理判断即可．

解答 解：∵抛物线y=（a+c）x²+bx+$\frac{1}{4}$（a-c）与x轴有唯一的公共点，
∴关于x的方程（a+c）x²+bx+$\frac{1}{4}$（a-c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即b²-4×（a+c）×$\frac{1}{4}$（a-c）=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，勾股定理的逆定理的应用；用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．