Question

已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O₁分别交AC、BC于两D、E点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连FD、BD、OD，下列结论：①四边形ODCE是平行四边形；②E是△BFD的内心；③E是△FDO的外心；④∠C=∠BFD；其中正确的有                      个．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：首先利用三角形的中位线定理证明OE∥AC，然后证得△FDO≌△FBO，可以得到DF是圆的切线，然后利用内心以及外心的定义和的等腰三角形的性质：等边对等角即可作出判断．
解答：解：连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，
又∵OA=OB，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵∠BAC=∠ADO，
∴∠BOE=∠EOD，
在△FDO和△FBO中
∵，
∴△FDO≌△FBO
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即△FDO是直角三角形，DF是圆的切线．
如果四边形ODCE是平行四边形，则OD∥BC，则∠BEO=∠EOB=∠DOE
则△OBE是等边三角形，从而得到△ABC是等边三角形，与已知不符，故①是错误的；
∵FD、FB是圆的切线，
∴FD=FB，
又∵OB=OD
∴OF是BD的中垂线，
∴=，E在∠DPF的平分线上，
∴E在∠FBD的平分线上，
则E是△BFD的内心，故②正确；
Rt△DOF中，若E是△FDO的外心，则E是OF的中点，可以得到△ODE是等边三角形，则△ABC是等边三角形，与已知不符，故③是错误的；
设∠C=x°，则∠A=180-2x°，
则在直角△ABD中，∠ABD=90°-（180-2x）=2x-90°，
∵BF是切线，则∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°-∠ABD=90°-（2x-90）°=180-2x°，
在等腰△BDF中，∠F=180°-2∠DBF=180°-2（180-2x）°=4x-180°，
而4x-180与x不一定相等，故④不正确．
故正确的只有②．
故选A．
点评：此题主要考查了三角形的内心、外心以及切线的判定，解答的关键是正确证得DF是圆的切线．