Question

3．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，△DEB的周长为8cm，则AB=8cm．

Answer 1

分析 利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知Rt△ACD≌Rt△AED，再找出图中的三条等边，利用边的和差关系求AB的长度．

解答 解：∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴BD+DE=BD+CD=BC．
又∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=8cm，
∴AB=8cm．
故答案为：8cm．

点评 本题主要考查角平分线上的点到线段两端的距离相等的性质和边的和差关系．利用相等的线段进行等效转移是很重要的方法，在角平分线这部分题中常常用到，注意掌握．