【题目】如图1,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求图中阴影部分的面积;
(3)若,DF+BF=8,如图2,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析(2)9﹣2π;(3)3
【解析】试题分析:(1)连结OD,如图1,由已知得到∠BAD=∠CAD,得到,再由垂径定理得OD⊥BC,由于BC∥EF,则OD⊥DF,于是可得结论;
(2)连结OB,OD交BC于P,作BH⊥DF于H,如图1,先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°,OB=BD=,得到∠BDF=∠DBP=30°,在Rt△DBP中得到PD=,PB=3,在Rt△DEP中利用勾股定理可算出PE=2,由于OP⊥BC,则BP=CP=3,得到CE=1,由△BDE∽△ACE,得到AE的长,再证明△ABE∽△AFD,可得DF=12,最后利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣(S扇形BOD﹣S△BOD)进行计算;
(3)连结CD,如图2,由可设AB=4x,AC=3x,设BF=y,由得到CD=BD=,由△BFD∽△CDA,得到xy=4,再由△FDB∽△FAD,得到16﹣4y=xy,则16﹣4y=4,然后解方程即可得到BF=3.
试题解析:(1)连结OD,如图1,∵AD平分∠BAC交⊙O于D,∴∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC,∵BC∥EF,∴OD⊥DF,∴DF为⊙O的切线;
(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,如图1,∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=30°,∴∠BOD=2∠BAD=60°,∴△OBD为等边三角形,∴∠ODB=60°,OB=BD=,∴∠BDF=30°,∵BC∥DF,∴∠DBP=30°,在Rt△DBP中,PD=BD=,PB=PD=3,在Rt△DEP中,∵PD=,DE=,∴PE==2,∵OP⊥BC,∴BP=CP=3,∴CE=3﹣2=1,易证得△BDE∽△ACE,∴AE:BE=CE:DE,即AE:5=1: ,∴AE=,∵BE∥DF,∴△ABE∽△AFD,∴,即,解得DF=12,在Rt△BDH中,BH=BD=,∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣(S扇形BOD﹣S△BOD)==;
(3)连结CD,如图2,由可设AB=4x,AC=3x,设BF=y,∵,∴CD=BD=,∵∠F=∠ABC=∠ADC,∵∠FDB=∠DBC=∠DAC,∴△BFD∽△CDA,∴,即,∴xy=4,∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD,而∠DFB=∠AFD,∴△FDB∽△FAD,∴,即,整理得16﹣4y=xy,∴16﹣4y=4,解得y=3,即BF的长为3.
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【题目】立定跳远是体育中考选考项目之一,体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表:
成绩(m) | 2.3 | 2.4 | 2.5 | 2.4 | 2.4 |
则下列关于这组数据的说法,正确的是( )
A.众数是2.3B.平均数是2.4
C.中位数是2.5D.方差是0.01
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【题目】“五四”青年节期间,校团委对团员参加活动情况进行表彰,计划分为优秀奖和贡献奖,为此联系印刷公司设计了两种奖状,A,B两家公司都为学校提出了相同规格和单价的两种奖状,其中优秀奖的奖状6元/张,贡献奖的奖状5元/张,经过协商,A公司的优惠条件是:两种奖状都打八折,但要收制版费50元;B公司的优惠条件是:两种奖状都打九折;根据学校要求,优秀奖的个数是贡献奖的2倍还多10个,如果设贡献奖的个数是x个.
(1)分别写出校团委购买A,B两家印刷厂所需要的总费用y1(元)和y2(元)与贡献奖个数x之间的函数关系式;
(2)校团委选择哪家印刷公司比较合算?请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(A在B的左侧),抛物线的对称轴为直线x=1,AB=4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线上有两点M(x1,y1)和N(x2,y2),若x1<1,x2>1,x1+x2>2,试判断y1与y2的大小,并说明理由;
(3)平移该抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x轴交于点D,记平移后的抛物线顶点为点P
①若△ODP是等腰直角三角形,求点P的坐标;
②在①的条件下,直线x=m(0<m<3)分别交线段BP、BC于点E、F,且△BEF的面积:△BPC的面积=2:3,直接写出m的值.
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【题目】问题再现:
数形结合是一种重要的数学思想方法,借助这种思想方法可将抽象的数学知识变得直观并且具有可操作性.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义验证完全平方公式.
将一个边长为的正方形的边长增加,形成两个长方形和两个正方形,如图所示:这个图形的面积可以表示成:
或
∴
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
请你类比上述方法,利用图形的几何意义验证平方差公式.
(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明?
如图所示,表示1个1×1的正方形,即:,表示1个2×2的正方形,与恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:、、就可以表示2个2×2的正方形,即:而、、、恰好可以拼成一个的大正方形.
由此可得:.
尝试解决:
请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:_______.(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:_______.(直接写出结论即可,不必写出解题过程).
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【题目】如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数的图象分别交于C、D两点,点D(2,﹣3),点B是线段AD的中点.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数的解析式;
(2)求△COD的面积;
(3)直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.
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【题目】如果关于的不等式组的整数解仅有,,那么适合这个不等式组的整数,组成的有序数对共有_______个;如果关于的不等式组(其中,为正整数)的整数解仅有,那么适合这个不等式组的整数,组成的有序数对共有______个.(请用含、的代数式表示)
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