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【题目】如图1,ABC内接于OBAC的平分线交O于点D,交BC于点E(BEEC),且BD=2.过点D作DFBC,交AB的延长线于点F.

(1)求证:DF为O的切线;

(2)若BAC=60°DE=,求图中阴影部分的面积;

(3)若DF+BF=8,如图2,求BF的长.

【答案】(1)证明见解析(2)9(3)3

【解析】试题分析:(1)连结OD,如图1,由已知得到BAD=CAD,得到,再由垂径定理得ODBC,由于BCEF,则ODDF,于是可得结论;

2)连结OBODBCP,作BHDFH,如图1,先证明OBD为等边三角形得到ODB=60°OB=BD=,得到BDF=DBP=30°,在RtDBP中得到PD=PB=3,在RtDEP中利用勾股定理可算出PE=2,由于OPBC,则BP=CP=3,得到CE=1,由BDE∽△ACE,得到AE的长,再证明ABE∽△AFD,可得DF=12,最后利用S阴影部分=SBDF﹣S弓形BD=SBDFS扇形BOD﹣SBOD)进行计算;

3)连结CD,如图2,由可设AB=4xAC=3x,设BF=y,由得到CD=BD=,由BFD∽△CDA,得到xy=4,再由FDB∽△FAD,得到16﹣4y=xy,则16﹣4y=4,然后解方程即可得到BF=3

试题解析:(1)连结OD,如图1AD平分BACOD∴∠BAD=CADODBCBCEFODDFDFO的切线;

2)连结OB,连结ODBCP,作BHDFH,如图1∵∠BAC=60°AD平分BAC∴∠BAD=30°∴∠BOD=2BAD=60°∴△OBD为等边三角形,∴∠ODB=60°OB=BD=∴∠BDF=30°BCDF∴∠DBP=30°,在RtDBP中,PD=BD=PB=PD=3,在RtDEP中,PD=DE=PE==2OPBCBP=CP=3CE=3﹣2=1,易证得BDE∽△ACEAEBE=CEDE,即AE5=1AE=BEDF∴△ABE∽△AFD,即,解得DF=12,在RtBDH中,BH=BD=S阴影部分=SBDF﹣S弓形BD=SBDFS扇形BOD﹣SBOD==

3)连结CD,如图2,由可设AB=4xAC=3x,设BF=yCD=BD=∵∠F=ABC=ADC∵∠FDB=DBC=DAC∴△BFD∽△CDA,即xy=4∵∠FDB=DBC=DAC=FAD,而DFB=AFD∴△FDB∽△FAD,即,整理得16﹣4y=xy16﹣4y=4,解得y=3,即BF的长为3

练习册系列答案
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【题目】立定跳远是体育中考选考项目之一,体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表:

成绩(m

2.3

2.4

2.5

2.4

2.4

则下列关于这组数据的说法,正确的是(  )

A.众数是2.3B.平均数是2.4

C.中位数是2.5D.方差是0.01

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【题目】五四青年节期间,校团委对团员参加活动情况进行表彰,计划分为优秀奖和贡献奖,为此联系印刷公司设计了两种奖状,A,B两家公司都为学校提出了相同规格和单价的两种奖状,其中优秀奖的奖状6/张,贡献奖的奖状5/张,经过协商,A公司的优惠条件是:两种奖状都打八折,但要收制版费50元;B公司的优惠条件是:两种奖状都打九折;根据学校要求,优秀奖的个数是贡献奖的2倍还多10个,如果设贡献奖的个数是x

(1)分别写出校团委购买A,B两家印刷厂所需要的总费用y1(元)和y2(元)与贡献奖个数x之间的函数关系式;

(2)校团委选择哪家印刷公司比较合算?请说明理由.

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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+cx轴交于点A,B(AB的左侧),抛物线的对称轴为直线x=1,AB=4.

(1)求抛物线的表达式;

(2)抛物线上有两点M(x1,y1)和N(x2,y2),若x11,x21,x1+x22,试判断y1y2的大小,并说明理由;

(3)平移该抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x轴交于点D,记平移后的抛物线顶点为点P

①若△ODP是等腰直角三角形,求点P的坐标;

②在①的条件下,直线x=m(0m3)分别交线段BP、BC于点E、F,且△BEF的面积:△BPC的面积=2:3,直接写出m的值.

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【题目】点(ay1)(a+2y2)都在反比例函数yk0)的图象上,若y1y2,则a的取值范围是_____

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【题目】问题再现:

数形结合是一种重要的数学思想方法,借助这种思想方法可将抽象的数学知识变得直观并且具有可操作性.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.

例如:利用图形的几何意义验证完全平方公式.

将一个边长为的正方形的边长增加,形成两个长方形和两个正方形,如图所示:这个图形的面积可以表示成:

这就验证了两数和的完全平方公式.

类比解决:

请你类比上述方法,利用图形的几何意义验证平方差公式.

(要求画出图形并写出推理过程)

问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明

如图所示,表示11×1的正方形,即:表示12×2的正方形,恰好可以拼成12×2的正方形,因此:就可以表示22×2的正方形,即:恰好可以拼成一个的大正方形.

由此可得:.

尝试解决:

请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:_______.(要求写出结论并构造图形写出推证过程).

问题拓广:

请用上面的表示几何图形面积的方法探究:_______.(直接写出结论即可,不必写出解题过程).

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【题目】如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数的图象分别交于C、D两点,点D(2,﹣3),点B是线段AD的中点.

(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数的解析式;

(2)求COD的面积;

(3)直接写出y1y2时自变量x的取值范围.

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【题目】如果关于的不等式组的整数解仅有,,那么适合这个不等式组的整数,组成的有序数对共有_______个;如果关于的不等式组(其中,为正整数)的整数解仅有,那么适合这个不等式组的整数,组成的有序数对共有______.(请用含的代数式表示)

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