Question

12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点
（1）求证：∠ABC+∠ADC=180°；
（2）求证：∠G=∠CDF．

Answer 1

分析 （1）根据多边形的内角和定理求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠CDF+∠GBC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CDF+∠DFC=90°，推出∠DFC=∠GBC，根据平行线的判定得出BG∥DF，根据平行线的性质得出即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°；

（2）∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠GBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠GBC+∠CDF=90°，
∵∠C+∠CDF+∠DFC=180°，∠C=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠GBC=∠DFC，
∴BG∥DF，
∴∠G=∠CDF．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线定义的应用，能求出BG∥DF是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等．