Question

如图：已知直线y=kx+1经过点A（3，-2）、点B（a，2），交y轴于点M，
（1）求a的值及AM的长；
（2）在x轴的负半轴上确定点P，使得△AMP成等腰三角形，请你直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，点D（-3，b）在AC上，连接BD，设BE是△ABD的高，过点E的射线EF将△ABD的面积分成2：3两部分，交△ABD的另一边于点F，求点F的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（3，-2）在直线y=kx+1上，
∴-2=3k+1，
∴k=-1，
∴解析式为y=-x+1，把点B坐标代入解析式，
得：2=-a+1，
∴a=-1，
∴点B坐标为（-1，2），
令x=0，则y=1，
∴点M的坐标为（0，1），
∴AM==3；

（2）设P点坐标为（a，0），
①当AP=MP时，则△APM是等腰三角形，
∴（a-3）²+4=a²+1，
解得：a=2，
∴P坐标（2，0）；
不符合题意，故舍去，
②当AM=AP时，
∴3=，
解得a=3-，
∴P坐标（3-，0）；
③当MP=AM=3时，
点P的坐标为（-，0）；

（3）直线AB绕点A逆时针旋转45°时，得到的直线AC与x轴平行，
∴D（-3，b），
∴b=-2，
∵BE是△ABD的高，
∴点E坐标为（-1，-2），
∴AD=6，BE=4，
又S_△ABD=AD•BE=×6×4=12，
EF将△ABD的面积分成2：3两部分，
∴两部分面积分别为12×=，12×=，
设点F在AB上，则F点坐标为（a，b），
则×4×（2+b）=，
∴b=，
将F（a，）代入y=-x+1得，a=，
同理可得另一种可能F（-，），
若F在AB上，F或F，
若F在BD上，由S_△BDE=DE•BE=4＜12×=，故这种情况不存在．
分析：（1）把A点坐标代入可求出直线的解析式，再把B点坐标代入求出a值，由两点间的距离公式求得AM的值；
（2）使△AMP为等腰三角形，应分三种情况：①AP=MP；②AM=AP；③AM=MP，由等腰三角形的性质可求得点P的坐标；
（3）由题意知，AB绕点A逆时针旋转45°得到的直线AC与与x轴平行，求得点D的坐标，求得△ADB的面积后，点P的位置应分两种情况计算：当点P在AB上时，又分两种情况；当点P在BD上时，可得是不存在的．
点评：本题考查的是一次函数的性质以及考生的理解图形能力，难度中上，注意要分类讨论．