Question

如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将△BEC旋转，使点C落在BC上的点D处，点B落在BC上方的点F处，连接AF．
求证：四边形ABDF是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：根据已知条件可以判定△ABC、△DCE均为等边三角形，由等边三角形的三个内角相等、三条边相等，进而得到三个三角形△ABC、△AEF、△DCE是等边三角形，可以推知同位角∠CDE=∠ABC，内错角∠CDE=∠EFA．所以利用平行的线的判定定理可以证得四边形ABDF的对边相互平行．

解答：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=60°；
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠DCE=∠EDC=60°，
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE，
∴FD=AC=BC，
∴△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及平行四边形的判定．平行四边形的判定定理：①对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边相互平行的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形．