Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．
（1）求证：△CBA∽△EDC；
（2）请写出点A，点C的坐标（解答过程可不写）；
（3）求出线段EF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）利用两角相等得出三角形相似；
（2）设出点A，利用一次函数的性质，设出BC的解析式，求得斜率，进一步得出CD、DE、AB的解析式，结合EA=3AC得出结论；
（3）由（2）得出点E坐标，设出EF解析式，求得点F坐标，进一步得出EF即可．

解答：（1）证明：∵BC⊥AB，CD⊥BC，DE⊥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴△CBA∽△EDC；

（2）解：设C点的坐标为（a，0），点B的坐标（0，2），
设BC的解析式为：y=kx+2
则：ak+2=0
k=-

2

a

∴CD的斜率=

a

2

，
设CD的解析式为：y=

a

2

+b
把C点坐标代入得0=

a

2

•a+b，b=-

1

2

a²，
则：D点的坐标为：（0，-

1

2

a²）
又∵DE∥BC，
∴设DE的解析式为y=-

2

a

x-

1

2

a²，
当y=0时，0=-

2

a

x-

1

2

a²x=-

1

4

a³，
则E点的坐标：（-

1

4

a³，0）
又∵AB∥CD
∴设AB的解析式为：y=

a

2

x+2，
当y=0时，0=

a

2

x+2，x=-

4

a

，
则A点的坐标：（-

4

a

，0）
∵EA=3AC，所以E点必在A点的左边
AE=|-

1

4

a³|-|-

4

a

=

1

4

a³-

4

a

=

a4-16

4a

，
AC=|-

4

a

|+a=

4

a

+a=

a2+4

a

，
∴

a4-16

4a

=

a2+4

a

，
a⁴-16=12（4+a²），
a⁴-12a²-64=0，
（a²-16）（a²+4）=0 得a²=16，a=4，a=-4（不合题意，a＞0）
∴A点的坐标（-1，0），C点的坐标（4，0）；

（3）E点的坐标（-16，0）
∵EF∥CD
设EF的解析式：y=

a

2

x+b
则 0=

a

2

（-16）+b
b=8a=32，
∴F点的坐标为：（0，32）
∴EF²=（-16）²+32²=5×16²
EF=16

5

．

点评：此题综合考查三角形相似的判定与性质，一次函数的实际运用，勾股定理的运用，注意图形与数据结合解决问题．