Question

如图，直线y=x与y=-x+2交于点A，点P是直线OA上一动点（点A除外），作PQ∥x轴交直线y=-x+2于点Q，以PQ为边，向下作正方形PQMN，设点P的横坐标为t．
（1）求交点A的坐标；
（2）写出点P从点O运动到点A过程中，正方形PQMN与△OAB重叠的面积s与t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
（3）是否存在点Q，使△OCQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可联立得方程组

y=x  y=-x+2

，解此方程组即可求得交点A的坐标；
（2）由P（t，t），PQ∥x轴交直线y=-x+2于点Q，可得Q（2-t，t），然后由当点N落在x轴上时，PN=PQ，求得t的值，然后分别从当0＜t≤

2

3

时与当

2

3

＜t≤1时去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得点B与C的坐标，继而求得BC的长，再分别从若CQ=OQ，若OC=CQ与若OQ=OC时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）由方程组

y=x  y=-x+2

，
解得：

x=1 y=1

，
故交点A的坐标为A（1，1）；

（2）∵P（t，t），PQ∥x轴交直线y=-x+2于点Q，
∴Q（2-t，t），
∴PQ=2-t-t=2-2t，
当点N落在x轴上时，
∵PN=PQ
∴t=2-2t，
解得：t=

2

3

，
①当0＜t≤

2

3

时，S=t•（2-2t）=-2t²+2t；
②当

2

3

＜t≤1时，S=PQ²=（2-2t）²=4t²-8t+4；

（3）存在点Q，使△OCQ为等腰三角形．
∵点C是直线y=-x+2与y轴的交点，与x轴交于点B，
∴点C（0，2），B（2，0），
即OC=2，OB=2，
∴BC=

OB2+OC2

=2

2

，
①若CQ₁=OQ₁，过点Q₁作Q₁D⊥OC，
则OD=

1

2

OC=1，
当y=1时，即-x+2=1，
解得：x=1，
∴点Q₁（1，1）即为A点；
②若OC=CQ=2，
过点Q₂作Q₂E⊥OC于点E，则Q₂E∥OB，
∴△CQ₂E∽△CBO，
∴

Q2E

OB

=

CQ2

BC

，
即

Q2E

2

=

2

2 2

，
解得：Q₂E=

2

，
∴当x=

2

时，y=-

2

+2，
∴点Q₂（

2

，2-

2

）；
同理：点Q₃（-

2

，2+

2

）；
③若OQ₄=OC=2时，过点Q₄作Q₄F⊥x轴，
设点Q₄（x，-x+2），
∴x²+（-x+2）²=4，
解得：x=2，x=0（舍去），
∴点Q₄（2，0）即为B点；
综上可得：一共有4个点满足，分别为：Q₁（1，1），Q₂（

2

，2-

2

），Q₃（-

2

，2+

2

），Q₄（2，0）．

点评：此题考查了一次函数的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．