Question

14．已知，BF平分△ABC的外角ABE，D为BF上一动点．
（1）若DA=DC，求证：∠ABC=∠ADC．
（2）在D点运动过程中，试比较BA+BC与DC+DA的大小，并说明理由．
（3）若DA=DC，DG⊥CE于G，且AB=8，BC=6，求GC长．

Answer 1

分析 （1）在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，可证明△ADB≌△MDB，可得DM=DC，可证得∠DAB=∠DCB，再结合三角形内角和定理可证得结论；
（2）由（1）可得到DM=DC，在△DMC中，可得DM+DC＞BM+BC，则有DA+DC＞BA+BC，可得出结论；
（3）过D作DH⊥AB于点H，可证明△DGC≌△DHA，可得AH=CG，又可证明GB=BH，则可求得CG的长．

解答 （1）证明：如图（1），在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，

∵BF平分∠ABE，
∴∠ABD=∠MBD，
在△ABD和△MBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=MB}\\{∠ABD=∠MBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴DM=DA，∠DAB=∠DMB，
又∵DA=DC，
∴DM=DC，
∴∠DMB=∠DCB，
∴∠DAB=∠DCB，
∴∠ABC=∠ADC；
（2）解：BA+BC＜DA+DC，
理由如下：
在（1）中可得△ABD≌△MBD，
∴AD=MD，AB=MB，
在△DMC中，由三角形三边关系可得DM+DC＞MC，
∴DM+DC＞MB+BC，
∴DA+DC＞BA+BC，
即BA+BC＜DA+DC；
（3）解：如图（2），过D作DH⊥AB于点H，

∵BF平分∠ABE，
∴DG=DH，
在Rt△ADH和Rt△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{DH=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴AH=CG，
在Rt△DGB和Rt△DHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DH}\\{DB=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGB≌Rt△DHB（HL），
∴GB=BH，
设GB=BH=x，
则AB-x=CB+x，即8-x=6+x，
解得x=1，
∴CG=CB+BG=7．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键，在（1）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．