Question

如图，Rt△ABC，AC=BC，将Rt△ABC沿过B的直线折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕为BE，这样可以求出22.5°的正切值是

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：设AC=BC=1，CE=x，则AE=1-x．先解等腰直角三角形ABC，得出∠ABC=45°，AB=

2

，再由折叠的性质得△BCE≌△BFE，在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE²=AF²+EF²，由此列出方程（1-x）²=（

2

-1）²+x²，解方程求出x=

2

-1，根据正切函数的定义得出即可求出tan22.5°的值．

解答：解：设AC=BC=1，CE=x，则AE=1-x．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴∠ABC=45°，AB=

2

．
由折叠的性质得△BCE≌△BFE，
∴∠C=∠BFE=90°，∠CBE=∠FBE=22.5°，BC=BF=1，CE=FE=x．
在Rt△AEF中，∵∠AFE=90°，
∴AE²=AF²+EF²，即（1-x）²=（

2

-1）²+x²，
解得x=

2

-1，
∴tan∠CBE=tan22.5°=

CE

BC

=

x

1

=x=

2

-1．
故答案为

2

-1．

点评：本题考查了解直角三角形，折叠的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．设出适当的未知数，由勾股定理列出方程（1-x）²=（

2

-1）²+x²，是解题的关键．