Question

【题目】已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣；（2）存在，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

【解析】试题分析：（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题；

（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题；

（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线讨论即可解决问题．

试题解析：解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即；

（2）存在．当x=0， =2，则C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5，当∠PCB=90°时，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；

当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，∴直线AC的解析式为y=x+2，∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直线BP的解析式为y=x﹣，解方程组： 得： 或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n， ），分三种情况讨论：

①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0）；

②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，∴ =﹣2，解得n= ，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），根据中点坐标公式得到： = 或 =，解得m=或，此时E2（，0），E3（，0）；

③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0）．

综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．