Question

【题目】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N.

（1）求证：△ODM∽△MCN；

（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；

（3）在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样的结论？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）OA =；（3）p为定值16.

【解析】

（1）由切线性质可得OM⊥MN，∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，故Rt△DOM∽Rt△CMN；（2）设OA=y，Rt△ODM中，DM 2=OM 2- DO 2= OA 2- DO2,可得OA=y=；（3）（1）知相似比为，故p=.

（1）证明：∵MN为切线，∴OM⊥MN，

∴∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，

∴Rt△DOM∽Rt△CMN.

（2）设OA=y，Rt△ODM中，DM 2=OM 2- DO 2= OA 2- DO2,

即x2=y2-(8-y)2,解得OA=y=

（3）由（1）知△DOM ∽△CMN，相似比为，

故p=.

故p为定值16.