练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    2．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．
    （1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；
    （2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．
    ①依题意补全图2；
    ②判断△QPM的形状并加以证明；
    （3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．

    分析 （1）连接AC，由正方形的性质得到∠DBC=45°，再求出∠BQM=90°，根据等腰直角三角形的判定即可解答；
    （2）①根据题意补充图形即可；
    ②△QPM的形状是等腰三角形，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC=∠E，再证明MN∥AE，得到∠NMP=∠E，通过等量代换得到∠DPC=∠NMP，根据等角对等边得到QM=QP，即可解答．
    （3）利用相似三角形的性质定理和判定定理、对称的性质，写出解题思路．

    解答 解：（1）如图1，连接AC，

    ∵四边形ABCD为正方形，
    ∴AC⊥BD，∠DBC=45°，
    ∵点M、N分别为BC、AP的中点，
    ∴MN∥AC，
    ∴∠BQM=∠BOC=90°，
    ∴∠QMB=45°，
    ∴△QPM是等腰直角三角形，
    故答案为：等腰直角三角形．
    （2）①如图2，

    ②△QPM的形状是等腰三角形，
    如图3，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，

    ∵PB=CE，
    ∴PB+BC=CE+BC，即CP=BE，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
    在△DCP和△ABE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{DC=AB}\\{∠DCP=∠ABE}\\{CP=BE}\end{array}\right.$
    ∴△DCP≌△ABE，
    ∴∠DPC=∠E，
    ∵M为BC的中点，
    ∴MB=MC，
    ∴MB+BP=MC+CE，即MP=ME，
    ∴M为PE的中点，
    ∵N为AP的中点，
    ∴MN∥AE，
    ∴∠NMP=∠E，
    ∴∠DPC=∠NMP，
    ∴QM=QP，
    ∴△QPM是等腰三角形．
    （3）求解思路如下：
    a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE=BP，连接AE，如图4．

    b，由（2）可得QM∥AE，可证$\frac{P′Q}{QA}=\frac{P′M}{ME}$．
    c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而$\frac{P′Q}{QA}=\frac{P′P}{AD}$．
    d，可得$\frac{P′M}{ME}=\frac{P′P}{AD}$．
    e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′=BP=CE，设BP′=BP=CE=x，由AD=BC=2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．

    点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性质定理与判定定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．计算：
    （1）$\sqrt{2\frac{1}{4}}+\sqrt{（-5）^{2}}+\root{3}{-125}$
    （2）|$\sqrt{3}$-2|-|2-$\sqrt{6}$|+|-$\sqrt{6}$|

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．已知a-3=2，b-5=3，用“＜”来比较a、b的大小：a＜b．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．已知不等式4x-a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是（　　）
    A．8＜a＜12B．8≤a＜12C．8＜a≤12D．8≤a≤12

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．如图，?ABCD，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF、DE．
    （1）求证：四边形DECF是平行四边形；
    （2）若AB=13，DF=14，tanA=$\frac{12}{5}$，求CF的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．解方程（组）：
    （1）$\frac{x+1}{2}=\frac{2-x}{3}-1$
    （2）解二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y=8①}\\{3x+y=12②}\end{array}\right.$
    （一）有位同学是这么做的，①+②得4x=20，解得x=5，代入①得y=-3．
    ∴这个方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-3}\end{array}\right.$．
    该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程求解；
    （二）请你换一种方法来求解该二元一次方程组．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．如图1，在?ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将?ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．
    （1）则点E到CD的距离为3$\sqrt{3}$；
    （2）当点H与点C重合时，
    ①证明：CE=CF；
    ②求：BE和CF的长；
    （3）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M时．
    ①请直接写出BE的长；
    ②在①的基础上求ME的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    11．关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0没有实数根，则整数a的最小值是（　　）
    A．0B．1C．2D．3

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．计算：
    （1）$\sqrt{0.04}+\root{3}{-64}-\sqrt{\frac{1}{4}}$
    （2）|1-$\sqrt{2}$|+|$\sqrt{2}-\sqrt{3}$|+|$\sqrt{3}-2$|

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案