Question

4．如图，已知，点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足，点B在AE的延长线上，点D在AF，若AB=21，AD=9，BC=DC=10，则AE的长为15．

Answer 1

分析 欲求AE的长度，需要通过证全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，创设条件证出线段相等，进而求得AE的长，使问题得以解决．

解答 解：∵点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CF=CE．
在△ACF与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠AFC=∠AEC=90°}\\{AC=AC\\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE（SAS），
∴AF=AE．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．
设DF=BE=a，则AE=21-a，AF=9+a，
由勾股定理得到：（21-a）²+CF²=（9+a）²+CE²，
21²-42a+a²=81+18a+a²，
解得 a=6．
∵CB=10，BE=6
∴勾股定理得到：CE=8．
∴AE=21-6=15．
故答案是：15．

点评 本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．