Question

14．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点．直径AC的延长线与PB的延长线交于点D．
（1）求证：∠APB=2∠CBD；
（2）若∠CBD=30°，BD=2$\sqrt{3}$．求图中阴影部分的面积（结果保留根号与π）．

Answer 1

分析 （1）连接OP，AB，根据AP，BP是⊙O的切线，由切线长定理得到AP=BP，OP平分∠APB，根据等腰三角形的性质三线合一得到OP⊥AB，再根据AC是⊙O的直径，得到∠ABC=90° 即：AB⊥BC，BC∥OB，得到内错角相等，由等量代换得到结果；
（2）根据切线长定理和三角形全等S_△OAP=S_△OBP，通过解直角三角形得到OB，PB，再根据三角形的面积和扇形的面积推出结论．

解答 （1）证明：连接OP，AB，
∵AP，BP是⊙O的切线，
∴AP=BP，OP平分∠APB，
∴OP⊥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90° 即：AB⊥BC，
∴BC∥OB，
∴∠CBD=∠1，
∴∠APB=2∠1，
∴∠APB=2∠CBD；

（2）解：连接OB，
∵∠CBD=30°，
∴∠1=30°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，
在△OAP与△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠OAP=∠OBP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP，
∴S_△OAP=S_△OBP，
在R_t△ODB中，∠2=60°，
∴OB=$\frac{BD}{tan∠2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{tan60°}$=2，
在R_t△OBP中，PB=$\frac{OB}{tan∠1}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OBP=$\frac{1}{2}$OB•PB=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形OAPB}=S_△OAP+S_△OBP=2S_△OBP=4$\sqrt{3}$，
∵∠2=60°，
∴∠AOB=120°，
S_扇形AOB=$\frac{120•π{•OB}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∴所求的阴影面积：S=S_{四边形OAPB}-S_扇形AOB4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．