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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQAB的延长线于点Q.

(1)求线段PQ的长;

(2)问:点P在何处时,PFD∽△BFP,并说明理由.

【答案】(1)1(2)点P是AB的中点

【解析】

试题分析:(1)由题意得:PD=PE,DPE=90°,又由正方形ABCD的边长为1,易证得ADP≌△QPE,然后由全等三角形的性质,求得线段PQ的长;

(2)易证得DAP∽△PBF,又由PFD∽△BFP,根据相似三角形的对应边成比例,可得证得PA=PB,则可求得答案.

试题解析:(1)根据题意得:PD=PE,DPE=90°,

∴∠APD+QPE=90°,

四边形ABCD是正方形,

∴∠A=90°,

∴∠ADP+APD=90°,

∴∠ADP=QPE,

EQAB,

∴∠A=Q=90°,

ADP和QPE中,

∴△ADP≌△QPE(AAS),

PQ=AD=1;

(2)∵△PFD∽△BFP,

∵∠ADP=EPB,CBP=A,

∴△DAP∽△PBF,

PA=PB,

PA=AB=

当PA=,即点P是AB的中点时,PFD∽△BFP.

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