Question

（8分）若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）      操作：请你在如图15所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。
（2）      探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。
（3）      归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）

Answer 1

解（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图4所示
（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
 
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得=
∴==÷（1+）=÷（1+）=≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形
矩形E′BCF′是黄金矩形
证明：如图4，∵==（1-）÷=（1-）÷=
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形。

略